🏅 Üç Kenarı Bilinen Üçgenin Alanı

S4rKcWI. Çeşitkenar üçgenin her bir kenarının uzunluğu birbirinden farklı olmak zorundadır. Bu nedenle çeşitkenar üçgenin iç açılarının her biri de, diğerinden farklıdır. Örneğin geometride sıklıkla kullanılan 3-4-5 üçgeni, bir çeşitkenar üçgendir. Çeşitkenar üçgende özünde bir üçgendir, bu nedenle hesaplamalarda üçgenlere ait formüller uygulanmaktadır. Bu durum alan hesaplamaları içinde geçerlidir. ÇEŞİTKENAR ÜÇGENİN ALANI NASIL BULUNUR? Üçgenlerde genel olarak alan hesaplaması taban ile yükseklik uzunluğunun çarpımının yarısıdır. Bu formül aslında çeşitkenar üçgenler için de geçerlidir. Çeşitkenar üçgenin alanını bulmak için herhangi bir kenarın uzunluğunu ve o kenara ait yüksekliği bilmek yeterlidir. Bu durumlarda hesaplama yapmak için üçgen alan formülünü kullanmak yeterlidir. Lakin bazı durumlarda, çeşitkenar üçgenin kenar uzunlukları bilinmesine rağmen, yükseklik bilinmemektedir. İşte bu durumda çeşitkenar üçgenin alanını hesaplamak biraz farklı bir yola tabidir. Yüksekliği bilinen bir çeşitkenarın alanı şu şekilde hesaplanmaktadır Alan= h X b / 2 Yüksekliği bilinmeyen çeşitkenar üçgenin alanını bulmak için izlenen yol şu şekildedir. Önce kenar uzunlukları toplanarak üçgenin çevre uzunluğu elde edilmelidir. Daha sonra ise bu üçgenin çevre uzunluğu ikiye bölünmelidir. Buradan elde edilen sonucu bir harfle adlandırmakta fayda vardır örneğin "s" harfi ile Daha sonra ise çıkan bu sonuç formülde yerine yazılarak hesaplama yapılmaktadır. Çeşitkenar üçgenin alan formülünü bir şekil ile göstermek gerekirse; Yukarıda bir çeşitkenar üçgen verilmiştir. Bu çeşitkenar üçgenin kenarları "a", "b" ve "c" olarak adlandırılmıştır. Be çeşitkenar üçgenin alanı hesaplanması için önce tüm kenar uzunlukları toplanmalıdır. Yani a + b + c işlemi yapılmalıdır. Çıkan sonucun yarısı ise "s" olarak adlandırılmaktadır. Bundan sonra ise formülü uygulanmalıdır. Böylece çeşitkenar üçgenin alanı elde edilmektedir. Geniş açılı üçgenin alanını bulmaGeniş açılı üçgenin alanını bulma, aslında bir üçgenin alanını bulmakla aynı formüle sahiptir. Yani geniş açılı üçgenin alanı, taban ile yükseklik çarpımının yarısına eşittir. Lakin geniş açılı üçgenlerde önce yüksekliği bulmak gerekmektedir. Bunu şekil ile anlatmak daha kolay olacaktır; ALAN= h X b / 2 Yukarıda geniş açılı bir üçgen verilmiştir. Geniş açılı bir üçgende yükseklik yukarıdaki "h" doğrusu şeklinde çizilerek oluşturulabilmektedir. Gerekli matematiksel işlemlerle ve genellikle Pisagor bağlantısı ile üçgenin yüksekliği, yani "h" değeri kolayca bulunabilmektedir. Daha sonra ise üçgen alan hesaplama formülü ile, geniş açılı üçgenin alanı bulunabilmektedir. Üçgende alan konusunda; yüksekli, taban, dik üçgende alan, orta dikme gibi kavramları göreceğiz. Üçgende alan bulabilmek için bazı özellikler ve formüller bulunmaktadır, bunları detaylı bir şekilde aşağıda ders notu ve konu anlatımında üçgende alan konusuyla ilgili bilinmesi gereken tüm bilgileri mevcuttur. İyi bir çalışmanın ardından soru çözümüne geçerek hızlı ve basit bir şekilde soruları çözebileceğinize olan inancınız tam Genel Alan Bağıntısı Sponsorlu Bağlantılar Bir üçgenin alanı, bir kenarı ile o kenara ait yüksekliğin çarpımının kenarı kullanırsak kullanalım üçgenin alanı ABC üçgeninde yükseklik her zaman üçgenin içinde Dik Üçgende AlanDik üçgenin alanı dik kenarlarının çarpımının yarısına Bir açısı ve bu açının kenarları bilinen üçgenin alanı;ABC üçgenindemABC = a AB = cBC = aa. Birbirini 180° ye tamamlayan açıların sinüsleri eşit olduğundan;eşitliği BC = a AB = c uzunlukları sabit olan ABC üçgeninin alanının maksimum olabilmesi için a = 90° Hipotenüs uzunluğu sabit olan ABC dik üçgeninin alanının en büyük değerini alabilmesi için AB = AC üçgeni ikizkenar dik üçgen Üç kenarının uzunluğu verilen üçgenin alanı;ABC üçgeninin çevresi ÇevreABC = a + b + c Çevrenin yarısına u dersekBu üç alanı toplayarak ABC üçgeninin alanını ABC üçgeninde iç teğet çemberin yarıçapı r ve yükseklikler ABC dik üçgeninde AABC = BD.DC ve çevrel çemberinin yarıçapı verilen ABC üçgeninin çevrel çemberinin merkezi O ve yarıçapı R olsun. Sponsorlu Bağlantılar Orta DikmeÜçgenin kenarının orta noktasından çizilen dik doğrulara orta dikme denir.[EA, a kenarının [FO, b kenarının[DO, c kenarınınorta noktası çevrel çemberin Yükseklikleri eşit üçgenlerin alanları arasındaki bağıntı;Yükseklikleri eşit üçgenlerin alanlarının oranı tabanlarının oranına eşittir. Merhaba arkadaşlar size bu yazımızda Matematik Konuları hakkında bilgi vereceğiz. Yazımızı okuyarak bilgi sahibi olabilirsiniz. Üçgenin Alanı konusu ile ilgili bütün soruların cevabı sizleri bekliyor… Üçgenin Alanı Genel Alan Bağıntısı Dik Üçgende Alan Geniş Açılı Üçgende Alan Bir açısı ve bu açının kenarları bilinen üçgenin alanı Üç kenarının uzunluğu verilen üçgenin alanı Çevresi ve iç teğet çemberinin yarıçapı verilen üçgenin alanı Genel Alan Bağıntısı Bir üçgenin alanı, bir kenarı ile o kenara ait yüksekliğin çarpımının yarısıdır. Hangi kenarı kullanırsak kullanalım üçgenin alanı sabittir. Bir ABC üçgeninde yükseklik her zaman üçgenin içinde olmayabilir. Dik Üçgende Alan Dik üçgensel bölgenin alanı, dik kenar uzunluklarının çarpımının yarısının alınması ile bulunur. Eğer hipotenüse ait yükseklik biliniyorsa taban ile yükseklik çarpımının yarısı da alınabilir. Geniş Açılı Üçgende Alan Geniş açılı üçgenlerde [AB] ve[BC] kenarlarına ait yükseklikler üçgenin dış bölgesindedir. Bir açısı ve bu açının kenarları bilinen üçgenin alanı ABC üçgeninde mABC = a AB = cBC = a Birbirini 180° ye tamamlayan açıların sinüsleri eşit olduğundan; BC = a AB = c uzunlukları sabit olan ABC üçgeninin alanının maksimum olabilmesi için a = 90° olmalıdır. Hipotenüs uzunluğu sabit olan ABC dik üçgeninin alanının en büyük değerini alabilmesi için AB = AC üçgeni ikizkenar dik üçgen olmalıdır. Üç kenarının uzunluğu verilen üçgenin alanı Üç kenarının uzunluğu verilen üçgenin alanı;ABC üçgeninin çevresi ÇevreABC = a + b + c Çevrenin yarısına u dersek; Çevresi ve iç teğet çemberinin yarıçapı verilen üçgenin alanı Bu üç alanı toplayarak ABC üçgeninin alanını bulabiliriz. AABC= Bir ABC üçgeninde iç teğet çemberin yarıçapı r ve yükseklikler; ABC dik üçgeninde AABC = BD.DC 9. Sınıf Matematik Konuları için Tıklayınız 9. Sınıfta Yer Alan Diğer Ders ve Konuları için Tıklayınız Üçgende alan konusu kpss geometri dersi içinde işlenmektedir. Kpss sorularında üçgende alan ile ilgili son 12 yılda toplam 8 tane soru çıkmıştır. Geometri soruları genel yetenek soruları içinde az bir yer kaplasa da, üçgende alan konusu yıllara göre çıkan soru sayısına göre önemlidir. Bu yüzden konuya gerekli özeni AlanÜçgende alan konusuyla ilgili özellikler aşağıda sıralanmıştır. Tüm geometri konularında olduğu gibi bu konuyla ilgili de bazı formüller ön plana çıkmatadır. Baktığımız şekilleri hatırlamamız sınav anında kolay değildir. Önümüze çıkan kpss sorularında aklımızda tuttuğumuz bu resimleri ve formülleri genelde soruya uygulamak çok zordur. Bunun için tabiki bolca soru, test ve kpss deneme sınavı çözmek konuyu daha rahat sindirmenize yardımcı üçgenin alanı, bir kenarın uzunluğu ile bu kenara ait yüksekliğin uzunluğunun çarpımının yarısına alan konusunda, bir üçgenin üç kenarının uzunluğu verilirse ve dersek; ABC üçgeninin alanını bu şekilde üçgenin iç teğet çemberinin yarıçap uzunluğu r ve çevresinin uzunluğu 2u biliniyorsa ABC üçgeninin alanında şöyle bir ilişki doğar;Ayrıca; 2x+2y+2z=2u formülünden; sonucu ortaya bunlarla beraber sonuçları da ortaya çıkar. Bir üçgenin çevrel çemberinin yarıçapı r uzunluğu verilirse aşağıdaki formül ortaya dik üçgenin alanı dik kenarların çarpımının yarısına sonucu ortaya dik üçgenin iç teğet çemberinin hipotenüs üzerinde ayırdığı parça uzunlukları m ve n ise Alan şu şekilde bulunurEşkenar Üçgenin AlanıABC üçgeni eşkenar üçgen olmak üzere,Bir üçgenin bir kenarına paralel olarak çizilen doğrular diğer kenarları farklı noktalarda kesiyor ve doğrular üçgenin kenarları üzerinde eşit parçalar ayırıyorsa paralel doğrular arasında bölgelerin alanları tek sayılar ile orantılı temel sebebi aynı tabanları farklı üçgenlerin alanlarının oranı tabanlarının oranına alan konusu içinde bir de kenarortayların oluşturduğu alanlar oluşturduğu alanKpss genel yetenek geometri dersine ait üçgende alan konusu tamamlanmıştır. Bir sonraki kpss geometri konusu Üçgende Benzerlik olacaktır. Giriş Tarihi 1028 Son Güncelleme 1029 Eşkenar üçgenin tüm kenarlarının uzunlukları birbirine eşittir. Bunda dolayı da tüm iç açıları da birbirine eşit olup, her biri 60 derecedir. Eşkenar üçgende yükseklik herhangi bir tepe noktasından karşı tabana dik olarak indirilerek bulunur. Bu sayede eşkenar üçgenden özel bir üçgen türü olan 30-60-90 üçgeni elde edilir. Bu teoremin önemi ise kendisini eşkenar üçgenin alanını hesaplamada gösterir. EŞKENAR ÜÇGENİN ALANI NASIL BULUNUR? Tüm geometrik şekillerde olduğu gibi, üçgenlerinde kendisine has bir alan hesaplama formülü bulunmaktadır. Bu formül eşkenar üçgen içinde geçerlidir. Üçgenin alan formülü; taban uzunluğu ile yükseklik uzunluğunun çarpımlarından elde edilen sonucun 2'ye bölünmesi ile elde edilir. Bu durum eşkenar üçgen için geçerli olsa da, eşkenar üçgenin alanı hesaplamanın kendisine has bir yöntemi vardır. Bunu bir şekil üzerinden anlatmak daha yararlı olacaktır; Eşkenar üçgenin alanı= Yukarıda bir eşkenar üçgen verilmiştir. Yükseklik eşkenar üçgeni iki adet 30-60-90 üçgenine bölmüştür. Eşkenar üçgenin kenar uzunluklarından birinin bilinmesi ve Pisagor Yöntemi ile bu üçgenin yüksekliği kolaylıkla bulunabilir. Pisagor yönteminde hipotenüsün, yani uzun kenarın uzunluğunun karesi, kısa kenarların uzunluklarının karelerinin toplamına eşittir. Bu nedenle eşkenar üçgenin kenarlarından birinin uzunluğunu bilmek, yüksekliği bulmak içinde yeterlidir. Bu yöntem ile yüksekliğin aslında olduğu bulunmaktadır. Şimdi elimizde bu üçgenin yüksekliği ve de taban ölçüsü bulunmaktadır. Buradan sonra bildiğimiz üçgen alan formülü uygulanacaktır. Yani taban ölçüsü olan "a" ile, yükseklik ölçüsü olan çarpılacak ve elde edilen sonuç 2'ye bölünecektir. Bu işlem de bizlere sonucunu vermektedir. Yani özetlemek gerekirse, bir eşkenar üçgenin alanı hesaplama formülü "eşkenar üçgenin kenarlarından birinin karesinin, kök üç ile çarpıldıktan sonra, dörde bölünmesi" yolu ile elde edilmektedir. Görüleceği üzere bir kenarı bilinen eşkenar üçgenin alanı hesaplamak oldukça basittir. BİR KENARI BİLİNEN EŞKENAR ÜÇGENİN ALANI HESAPLAMA Bir kenarı bilinen eşkenar üçgenin her kenarı biliniyor demektir. Zira eşkenar üçgenin tüm kenarlarının uzunlukları birbirine eşittir. Eşkenar üçgenin alanının hesaplanması için gerekli olan tek şey bu üçgenin bir kenarının uzunluğudur. Yukarıda da uzunca anlatıldığı üzere, bir kenarı bilinen eşkenar üçgenin, yüksekliği de 30-60-90 trigonometrik bağlantısı sayesinde rahatlıkla bulunabilmektedir. Yükseklik de elde edildikten sonra yapılması gereken tek işlem her zamanki üçgen alan formülünü kullanmaktadır. Yani; taban çarpı yükseklik bölü iki. Benzer mantıkla alanı verilen bir eşkenar üçgenin her bir kenarının yahut yüksekliğinin uzunluğu da rahatlıkla bulunabilir. Burada yapılması gereken tek şey, matematik işlemini tersten yapmaktır. EŞKENAR ÜÇGENİN ALANI İSPATI Eşkenar üçgenin alanı ispatı, trigonometrik olarak 30-60-90 üçgenine dayanmaktadır. Eşkenar üçgenin köşelerinin herhangi birinden, karşı kenara indirilen dik çizgi, hem açıortay hem, kenarortay hem de bir dikmedir. Verilen bu eşkenar üçgenin bir kenar uzunluğunu a olarak adlandırırsak, yükseklik dikmesi karşı kenarı a/2 olarak eşit iki parçaya bölmektedir. Trigonometrik olarak ise 30-60-90 üçgeni özelliklerinden yararlanarak yüksekliğin olduğu ortaya çıkmaktadır. Üçgenlerde alan hesaplama yolu taban uzunluğu ile yüksekliğin çarpılması sonucunda elde edilen sayının ikiye bölünmesi ile bulunmaktadır. EŞKENAR ÜÇGENİN ALANI İLE İLGİLİ ÇÖZÜMLÜ SORULAR1. Aşağıda ABC eşkenar üçgeni verilmiştir. DE doğrusu, BC doğrusuna diktir. AD doğrusunun uzunluğu 2cm, BE doğrusunun uzunluğu ise 6 cm'dir. Bu bilgilere göre ABC üçgeninin alanı kaç santimetredir?

üç kenarı bilinen üçgenin alanı